في هذا المقال سنستعرض لكم تلخيصاً سريعاً لأهم القوانين والأفكار في قسم القطوع من كتاب الهندسة التحليلية:

إيجاد ميل المستقيم الواصل بين نقطتين:

إن كان جداء ميل مستقيمين يساوي (-١) فإن المستقيمين متعامدان.

متراجحة المثلث هي أن أي ضلع في المثلث أصغر من مجموع الضلعين الباقيتين وأكبر من فرقهما.

القطع المكافئ:
هو مجموعة نقط المستوي المتساوية البعد عن نقطة ثابتة تدعى المحرق (البؤرة "F") ومستقيم يدعى الدليل "Directrix" في المستوي.

Image: المنهاج السوري - منشورات وزارة التربية

مبرهنة ١: المستقيم المار من المحرق والعمود على الدليل هو محور تناظر للقطع المكافئ. النقطة المنتصف بين المحرق ومرتسمه القائم على الدليل تدعى ذروة القطع (الرأس "Vertex").

الوتر المحرقي (الوتر البؤري): هو كل قطعة مستقيمة يقع طرفاها على القطع المكافئ وتمر من المحرق.

Image: المنهاج السوري - منشورات وزارة التربية

الوتر المحرقي الأساسي: هو وتر محرقي يوازي الدليل.
طول الوتر المحرقي الأساسي يساوي ٤ أضعاف المسافة بين الذروة والمحرق (4P).

المماس للقطع: هو مستقيم لا يوازي محور التناظر، ويشترك مع القطع بنقطة وحيدة.
الناظم على القطع : هو مستقيم عمودي على المماس لقطع مكافئ.

لننتقل الآن لدراسة المعادلات الخاصة بالقطع المكافئ :

(p هي المسافة بين البؤرة والرأس)

Image: المنهاج السوري - منشورات وزارة التربية

Image: المنهاج السوري - منشورات وزارة التربية

القطع الناقص:
هو مجموعة نقط المستوي التي يكون مجموع بعديها عن نقطتين ثابتتين مقداراً ثابتاً، ندعو تلك النقطتين محرقي القطع (البؤرتين) [F^,,F].

Image: المنهاج السوري - منشورات وزارة التربية

ندعو المستقيم المار من المحرقين (البؤرتين) بالمحور المحرقي أو المحور الأساسي (المحور الأكبر) [المستقيم L]. وندعو العمود عليه في منتصف المسافة بين المحرقين بالمحور اللامحرقي أو المحور الثانوي (المحور الأصغر) [المستقيم ^,L].
مركز تناظر القطع الناقص [M]: هي نقطة تقاطع المحورين المحرقي واللامحرقي.
تسمى نقطتي تقاطع القطع الناقص مع المحور المحرقي بالذروتين (الرأسين) [V^,,V]، وتدعى القطعة المستقيمة الواصلة بينهما بالقطر الرئيسي أو الكبير وطولها إصطلاحاً (2a) .
بالمقابل فإن القطعة الواصلة بين الذروتين الثانويتين الناجمتين عن تقاطع المحور اللامحرقي مع القطع تدعى القطر الثانوي أو الصغير [b^,,b] وطولها إصطلاحاً (2b) (b^,,b هما الرأسان المرافقان).
المسافة بين المحرقين تساوي (2C).

العلاقة بين ثوابت القطع الناقص:

Image: المنهاج السوري - منشورات وزارة التربية

Image: المنهاج السوري - منشورات وزارة التربية

مبرهنة المماس في القطع الناقص:

Image: المنهاج السوري - منشورات وزارة التربية

Image: المنهاج السوري - منشورات وزارة التربية

تعتبر هذه هي المبرهنة الوحيدة التي تعطي علاقة بين زوايا المثلث المشكلة من المماس والناظم والمحرقين.
ميل المماس لأي نقطة (u،v) من القطع عدا ذرا القطع يمكن أن تعطى بالعلاقة:

تم إيجاد هذه العلاقة بالاعتماد على مشتق معادلة القطع على مجالات.

القطع الزائد:
هو مجموعة نقط المستوي التي تكون القيمة المطلقة للفرق بين بعديها عن نقطتين ثابتتين مقداراً ثابتاً، ندعو تلك النقطتين بمحرقي القطع.

Image: المنهاج السوري - منشورات وزارة التربية

القطع الزائد مكون من فرعين مجموعة نقاط يكون فيها الفرق موجباً والفرع الثاني الذي يكون فيها الفرق سالباً.
ندعو المستقيم المار من المحرقين بالمحور المحرقي أو المحور الأساسي.
وندعو العمود عليه في منتصف المسافة بين المحرقين بالمحور اللامحرقي أو المحور الثانوي.
مركز القطع الزائد هي نقطة تقاطع المحورين المحرقي واللا محرقي.
لاحظ أن رؤوس المستطيل تمر منها دائرة مركزها مركز القطع وقطرها يمتد بين المحرقين.
تسمى القطعة المستقيمة الواصلة بين المحرقين بالبعد المحرقي وتساوي اصطلاحاً ( c 2 ).
تسمى نقطتي تقاطع القطع الزائد مع المحور المحرقي بالذروتين، وتدعى القطعة المستقيمة الواصلة بينهما بالقطر الرئيسي أو الكبير
وطولها إصطلاحاً ( a 2 ) .
ندعو النقطتين الواقعتين على المحور اللامحرقي وتبعدان عن مركز القطع ( b ) بالذروتين المرافقتين. بالمقابل وطول القطعة الواصلة بين الذروتين المرافقتين أو القطر الثانوي إصطلاحاً ( b 2 ) .
العلاقة بين ثوابت القطع الزائد: c^2=a^2+b^2
مقاربات القطع الزائد: إذا اعتبرنا أن القطع الزائد هو فرعين، وأن كل فرع فيه يمكن بناء دالة عليه فإننا سنحصل على ما يلي:

Image: المنهاج السوري - منشورات وزارة التربية

وعليه بدراسة نهاية التابع عندما تسعى (x) إلى اللانهاية فسيكون لدينا مقارب مائل له المعادلة:
y=b/a x
ويمكنك الاستفادة أيضاً من أن ميل المستقيم ما هو إلا ظل زاويته مع محور الفواصل.
باستطاعتك أن تستنج أن المقارب الثاني هو انعكاس للمقارب الأول حول محور التراتيب ( المحور اللاحرقي). ومعادلته:
y=-b/a x

Image: المنهاج السوري - منشورات وزارة التربية
 

التعريف المشترك للقطوع:
هي دراسة لجميع نقاط المستوي التي سنتعامل معها في ضوء نسبة المسافة الفاصلة عن نقطة على المسافة الفاصلة عن مستقيم.

Image: المنهاج السوري - منشورات وزارة التربية

بالتبسيط نجد أن شكل المعادلة يصبح كالتالي:

 

يتم التصنيف القطوع بحسب قيمة e والذي ندعوه بالتباعد المركزي للقطع.
أما المستقيم فهو دليل القطع، والنقطة الثابتة فهي محرق القطع.
1. عندما تكون e = 1 نقول إن القطع مكافئ.

2. عندما تكون e < 1 نقول إن القطع ناقص.
3. عندما تكون e > 1 نقول إن القطع زائد.

المصدر: الباحثون السوريون (بتصرف)